Periodic optimal control for biomass productivity maximization in a photobioreactor using natural light

We address the question of optimization of the microalgal biomass long term productivity in the framework of production in photobioreactors under the influence of day/night cycles. For that, we propose a simple bioreactor model accounting for light attenuation in the reactor due to biomass density and obtain the control law that optimizes productivity over a single day through the application of Pontryagin’s maximum principle, with the dilution rate being the main control. An important constraint on the obtained solution is that the biomass in the reactor should be at the same level at the beginning and at the end of the day so that the same control can be applied everyday and optimizes some form of long term productivity. Several scenarios are possible depending on the microalgae’s strain parameters and the maximal admissible value of the dilution rate: bang-bang or bang-singular-bang control or, if the growth rate of the algae is very strong in the presence of light, constant maximal dilution. A bifurcation diagram is presented to illustrate for which values of the parameters these different behaviors occur. Finally, a simple sub-optimal bang-bang strategy is proposed that numerically achieves productivity levels that almost match those of the optimal strategy. Key-words: Optimal control, periodic control, photbioreactor, productivity, biofuel ∗ BIOCORE, INRIA Sophia Antipolis, BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex, France. {frederic.grognard, olivier.bernard}@sophia.inria.fr † Department of Biology, McMaster University, 1280 Main St W, Hamilton ON, L8S 4K1, Canada. [email protected] Commande périodique optimale pour la maximisation de la productivité de biomasse dans un photobioréacteur utilisant la lumière naturelle Résumé : Nous abordons la question de l’optimisation de la productivité de biomasse microalgale dans le cadre de la production en photobioréacteurs sous l’influence du cycle jour/nuit. Pour cela, nous proposons un modèle simple de bioréacteur qui tient compte de l’atténuation lumineuse dans le réacteur liée à la densité élevée de biomasse et une loi de commande qui optimise la productivité sur une seule journée par l’application du principe du maximum de Pontryagin, avec la dilution comme commande principale. Une contrainte importante sur la solution obtenue est que la biomasse dans le réacteur doit être au même niveau au début et à la fin du cycle de telle sorte que le même contrôle peut être appliqué tous les jours et optimise une certaine forme de la productivité à long terme. Plusieurs scénarios optimaux sont possibles en fonction des paramètres de croissance de la micro-algues et de la valeur maximale admissible du taux de dilution: bang-bang, bang-singulière-bang ou, si le taux de croissance des algues est très fort en présence de lumière, dilution maximale constante. Un diagramme de bifurcation est présenté pour illustrer pour quelles valeurs de paramètres ces comportements différents se produisent. Enfin, une stratégie sous-optimale bang-bang simple est proposée, qui permet d’approcher la productivité de la stratégie optimale. Mots-clés : Commande optimale, commande périodique, photobioréacteur, productivité, biofuel Biomass productivity maximization in a photobioreactor 3